Question

15．已知二次函數(shù)y=-（a+b）x²-2cx+a-b中，a、b、c是△ABC的三邊．
（1）當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)時，判斷△ABC是什么形狀；
（2）當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，該函數(shù)有最大值$\frac{a}{2}$，判斷△ABC是什么形狀．

Answer 1

分析 （1）由題意得出△=0，得出c²+a²=b²，由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形即可；
（2）由x=-$\frac{1}{2}$時函數(shù)有最大值為$\frac{a}{2}$，可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)為$\frac{a}{2}$，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)時，△ABC是直角三角形；理由如下：
當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)時，△=0，
即（-2c）²-4×[-（a+b]（a-b）=0，
整理得c²+a²=b²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）△ABC是等邊三角形；理由如下：
根據(jù)題意得：-$\frac{2c}{2（a+b）}$=-$\frac{1}{2}$，即c=$\frac{a+b}{2}$時，
有 $\frac{-4（a+b）（a-b）-（-2c）^{2}}{-4（a+b）}$=$\frac{a}{2}$，
整理，得2b²-a²-2c²+ab=0，
將c=$\frac{a+b}{2}$代入，得a²=b²，
∵a＞0，b＞0，
∴a=b=c，
即△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)特征、判別式的運(yùn)用、二次函數(shù)的最值、勾股定理的逆定理、等邊三角形的判定等知識；熟練掌握二次函數(shù)的綜合運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，難度適中．