Question

14．如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，過(guò)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線把△ABC分成的兩個(gè)小三角形也是等腰三角形，則△ABC各內(nèi)角度數(shù)可能是多少？

Answer 1

分析 本題要利用三角形內(nèi)角和定理求解．由于本題中經(jīng)過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)的直線沒(méi)有明確是經(jīng)過(guò)頂角的頂點(diǎn)還是底角的頂點(diǎn)，因此本題要分情況討論．

解答 解：設(shè)該等腰三角形的底角是x；
①如圖1，

當(dāng)過(guò)頂角的頂點(diǎn)的直線把它分成了兩個(gè)等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，
設(shè)∠A=x°，
則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90°；
②如圖2，

AC=BC=BD，AD=CD，
設(shè)∠B=x°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=x°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠A=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=2x°，
∴∠ACB=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，則頂角是108°．
③如圖3，

當(dāng)過(guò)底角的角平分線把它分成了兩個(gè)等腰三角形，則有AC=BC，AB=AD=CD，
設(shè)∠C=x°，
∵AD=CD，
∴∠CAD=∠C=x°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x°，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB=2x°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B=2x°，
∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36°，
則頂角是36°．
④如圖4，

當(dāng)∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°時(shí)，也符合，
AD=BD，BC=DC，
∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，
則x+3x+3x=180°，
x=$\frac{180°}{7}$，
因此等腰三角形頂角的度數(shù)為36°或90°或108°或$\frac{180°}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及其判定．作此題的時(shí)候，首先大致畫(huà)出符合條件的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及其推論找到角之間的關(guān)系，列方程求解．