Question

17．在正方形ABCD中，點G是AD的中點，點E在AB上，滿足CG⊥DE，H為CG，DE的交點，DE與對角線AC相交于點F．
（1）求證：△AGF≌△AEF；
（2）求$\frac{AB}{EF}$的值；
（3）若△AEF的面積為x，正方形ABCD的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）利用互余先判斷出∠ADE=∠DCG，從而得到△ADE≌△ADG得出AE=DG，進(jìn)而判斷出△AGF≌△AEF；
（2）設(shè)AE=m，用勾股定理得出DE，用相似三角形得出$\frac{EF}{DF}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，即：DF=2EF，借助DE=DF+EF，表示出EF即可，
（3）利用全等三角形的面積相等和等底同高的兩三角形的面積相等，得出S_△ADE=3x，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠DAE=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠CDH=90°，
∵CG⊥DE，
∴∠DCH+∠CDH=90°，
∴∠ADE=∠DCG，
在△ADE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠DCG}\\{AD=CD}\\{∠DAE=∠DCG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADG，
∴AE=DG
∵點D是AD中點，
∴DG=AG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=AG，
在△AGF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠FAG=∠FAE=45°}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△AEF；
（2）設(shè)AE=m，則AB=AD=2m．
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$m，
∴EF+DF=$\sqrt{5}$m
∵AE∥DC，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴DF=2EF，
∴EF+2EF=$\sqrt{5}$m，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$m，
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{2m}{\frac{\sqrt{5}}{3}m}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（3）∵△AGF≌△AEF，
∴S_△AGF=S_△AEF=x，
∵AG=DG，
∴S_△DGF=S_△AGF=x，
∴S_△ADE=3x，
∵AE=BE，
∴y=S_{正方形ABCD}=4S_△ADE=12x

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的面積相等和等底同高的兩三角形的面積相等，解本題的關(guān)鍵是△AGF≌△AEF．