Question

1．如圖，拋物線y=$\frac{1}{4}$x（x-k）經(jīng)過原點O，交x軸正半軸于A，過A的直線交拋物線于另一點B，AB交y軸正半軸于C，且OC=OA，B點的縱坐標(biāo)為9
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為第一象限的拋物線上一點，連接PB、PC，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為m，△PBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，連接OP、AP，若∠APO=45°，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作BH⊥x軸于H．由題意OC=OA=K，∠AOC=90°，推出∠OAC=∠OCA=45°，由∠BHA=90°，推出∠HBA=∠HAB=45°，推出BH=AH=9，推出OH=9-k，推出B（k-9，9），把B（k-9，9）代入y=$\frac{1}{4}$x（x-k），解方程即可．
（2）如圖2中，作BH⊥x軸于H，連接OP、PH、PA．設(shè)P[m，$\frac{1}{4}$m（m-5）]．根據(jù)S_△PBC=S_△PAB-S_△PCA=（S_△PBH+S_△PHA-S_△ABH）-（S_△PCO+S_△POA-S_△AOC）計算即可．
（3）如圖3中設(shè)AC交OP于D，AC的中點為K，連接PK．只要證明∠CPA=90°，根據(jù)PK=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，利用兩點間距離公式，列出方程，解方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作BH⊥x軸于H．

由題意OC=OA=K，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠BHA=90°，
∴∠HBA=∠HAB=45°，
∴BH=AH=9，
∴OH=9-k，
∴B（k-9，9），
把B（k-9，9）代入y=$\frac{1}{4}$x（x-k），
得到9=$\frac{1}{4}$（k-9）×（-9），
∴k=5，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x（x-5）．

（2）如圖2中，作BH⊥x軸于H，連接OP、PH、PA．設(shè)P[m，$\frac{1}{4}$m（m-5）]．

∵P（-4，9），A（5，0），C（0，5），
∴S_△PBC=S_△PAB-S_△PCA=（S_△PBH+S_△PHA-S_△ABH）-（S_△PCO+S_△POA-S_△AOC）
=$\frac{1}{2}$×9×（m+4）+$\frac{1}{2}$×9×$\frac{1}{4}$m（m-5）-$\frac{1}{2}$×9×9-[$\frac{1}{2}$×5×m+$\frac{1}{2}$×5×$\frac{1}{4}$m（m-5）-$\frac{1}{2}$×5×5]
=$\frac{1}{2}$m²-m-10（m＞5）．

（3）如圖3中設(shè)AC交OP于D，AC的中點為K，連接PK．

∵∠DPA=∠DCO=45°，∠PDA=CDO，
∴△PDA∽△CDO，
∴$\frac{PD}{CD}$=$\frac{AD}{OD}$，
∴$\frac{PD}{AD}$=$\frac{CD}{OD}$，∵∠CDP=∠ODP，
∴△CDP∽△ODA，
∴∠CPD=∠OAD=45°，
∴∠CPA=90°，
∵CK=KA，
∴PK=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)P[m，$\frac{1}{4}$m（m-5）]，
∵K（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴（m-$\frac{5}{2}$）²+[$\frac{1}{4}$m（m-5）-$\frac{5}{2}$]²=（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²，
整理得m（m-5）（m²-5m-4）=0，
∴m=0或5或$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，
∵m＞5，
∴m=$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，
∴P（$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，1）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、三角形的面積、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點間距離公式、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分割法求三角形的面積，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．