Question

14．在面積為2的正方ABCD中，EF是線段AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持CE=AF．連接BE，BF．BE+BF是否有最小值？若有，請(qǐng)求出這個(gè)值；若無，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 BE+BF有最小值．過點(diǎn)C作CG⊥AC，使得CG=AB，由△ABF≌△CGE，推出BF=GE，推出BE+BF=BE+EG，因?yàn)锽E+EG≥BG，所以BE+BF的最小值為BG的長．作BH⊥CG于H，易知△BCH是等腰直角三角形，由AB=$\sqrt{2}$，推出CH=BH=1，在Rt△BHG中，根據(jù)BG=$\sqrt{G{H}^{2}+B{H}^{2}}$即可解決問題．

解答 解：BE+BF有最小值．求法如下：
∵AC是正方形的對(duì)角線，
∴∠1=∠2=45°，∠DAB=90°，AB=BC，
過點(diǎn)C作CG⊥AC，使得CG=AB，
在△ABF和△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=AF}\\{∠BAF=∠GCE=90°}\\{AB=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CGE，
∴BF=GE，
∴BE+BF=BE+EG，
∵BE+EG≥BG，
∴BE+BF的最小值為BG的長．
作BH⊥CG于H，易知△BCH是等腰直角三角形，∵AB=$\sqrt{2}$，
∴CH=BH=1，
在Rt△BHG中，BG=$\sqrt{G{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（1+\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．