Question

7．如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，⊙O的直徑為AD．將正方形沿EC折疊，點(diǎn)B落在⊙O上F點(diǎn)．
（1）求證：E，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線；
（2）求線段BE及AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接CF、BF，證明△OFC≌△ODC，得到∠OFC=90°，根據(jù)平角的概念證明結(jié)論；
（2）設(shè)BE=x，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到BE的長(zhǎng)；證明△AFD∽△ODC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式求出AF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）連接CF、BF，
由題意得，∠EFC=∠ABC=90°，
∵CF=CB，CB=CD，
∴CF=CD，
在△OFC和△ODC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OD}\\{CF=CD}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OFC≌△ODC，
∴∠OFC=∠ADC=90°，
∴∠EF0=180°，
∴E，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線；
（2）設(shè)BE=x，則EF=x，AE=2-x，
∵AE²+OA²=OE²，
∴（2-x）²+1=（x+1）²，
解得，x=$\frac{2}{3}$，即BE=$\frac{2}{3}$；
連接AF、DF，
OC=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AFD=90°，又∠ODC=90°，
∴△AFD∽△ODC，
∴$\frac{AF}{OD}$=$\frac{AD}{OC}$，即$\frac{AF}{1}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得AF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．