Question

19．已知：點A是直線y=kx上一點，點P是線段OA上的一個動點（P不與O、A）重合，過點P做x軸的垂線，垂足為點B，以PB為邊長在PB的右側(cè)作正方形PBCD，則點C落在x軸上，作射線AD交x軸于點E，如圖所示．若OA=10，點A到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離之比是$\frac{4}{3}$，設(shè)OP=m．
（1）求點A的坐標(biāo)；
（2）請用含m的代數(shù)式表示△APD的面積為S，并求當(dāng)m為何值時，S有最大（或最�。┲�，最大（或最�。┲凳嵌嗌�？
（3）①請用含m的代數(shù)式表示線段OE的長；
②當(dāng)m為何值時，以點O，D，C為頂點的直角三角形與Rt△CDE相似？

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（a，b），根據(jù)A到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離之比，以及OA的長求出a與b的值，即可確定出A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)PD與OE平行，得到一對同位角相等，進(jìn)而得到sin∠APD=sin∠AOB，表示出AP與PD，利用三角形面積公式列出S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)判斷即可；
（3）①由三角形APD與三角形AOE相似，得比例，表示出OE即可；
②由DC與OC的比值確定，若三角形OCD與三角形DCE相似，得比例求出m的值即可．

解答 解：（1）設(shè)A（a，b），
cos∠AOF=$\frac{a}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即a=$\frac{3}{5}$×10=6，sin∠AOF=$\frac{OA}$=$\frac{4}{5}$，即b=$\frac{4}{5}$×10=8，
則A（6，8）；
（2）∵sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，sin∠APD=sin∠AOB=$\frac{4}{5}$，
∵AP=OA-OP=10-m，$\frac{4}{5}$=$\frac{PB}{OP}$=$\frac{PB}{m}$，即PB=PD=$\frac{4}{5}$m，
∴S_△APD=AP•PDcos∠APD=$\frac{4}{5}$×（10-m）×$\frac{3}{5}$=$\frac{120m-12{m}^{2}}{25}$=-$\frac{12}{25}$m²+$\frac{120}{25}$m，
則S_△APD有最大值，當(dāng)m=5時，S_max=16；
（3）①∵△APD∽△AOE，
∴$\frac{PD}{OE}$=$\frac{AP}{AO}$，即$\frac{\frac{4}{5}m}{OE}$=$\frac{10-m}{10}$，
整理得：OE=$\frac{8m}{10-m}$，
②∵DC與OC成固定比例$\frac{4}{7}$，
∴若△OCD∽△DCE，則有$\frac{CE}{DC}$=$\frac{DC}{OC}$=$\frac{4}{7}$，即$\frac{\frac{8m}{10-m}-\frac{7}{5}m}{\frac{4}{5}m}$=$\frac{4}{7}$，
解得：m=$\frac{74}{13}$．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，三角形面積公式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．