Question

20．如圖，P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，直線PO交⊙O于B，C兩點．已知PC=2，AP=2$\sqrt{3}$．求：
（1）⊙O的半徑．
（2）AC和AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OA，設(shè)半徑為r，表示出OP，根據(jù)PA為圓的切線，得到OA與AP垂直，在直角三角形AOP中，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑；
（2）在直角三角形AOP中，利用直角邊等于斜邊的一半確定出∠P=30°，進而求出∠AOC=60°，得到三角形AOC為等邊三角形，求出AC的長，再由BC為直徑得到三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理求出AB的長即可．

解答 解：（1）連接OA，設(shè)OA=OC=r，則有OP=OC+CP=r+2，
∵PA為圓O的切線，
∴PA⊥OA，
在Rt△AOP中，根據(jù)勾股定理得：OP²=OA²+AP²，即（r+2）²=r²+（2$\sqrt{3}$）²，
解得：r=2，
則圓O的半徑為2；
（2）在Rt△AOP中，OA=2，OP=2+2=4，
∴∠P=30°，∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC為等邊三角形，即OC=OA=AC=2，
∵BC為圓O的直徑，
∴BA⊥AC，
在Rt△ABC中，AC=2，BC=4，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．