Question

12．已知拋物線y=x²-2x-3的頂點為D，點P、Q是拋物線上的動點，若△DPQ是等邊三角形，求△DPQ的邊長．

Answer 1

分析 y=x²-2x-3可變形為y=（x-1）²-4，從而求得點D的坐標；根據(jù)題意設(shè)P點坐標為（1+k，-4+$\sqrt{3}$k），然后利用二次函數(shù)圖象上坐標的特征求得關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可求得k的值，進而求得△DPQ的邊長．

解答 解：y=x²-2x-3可變形為y=（x-1）²-4，
∴D點坐標為（1，-4），
要使△DPQ是等邊三角形，則PQ∥x軸，
∴設(shè)P點坐標為（1+k，-4+$\sqrt{3}$k），
∴-4+$\sqrt{3}$k=（1+k）²-2×（1+k）-3，
解得：k₁=0（舍去），k₂=$\sqrt{3}$，PQ=2k=2$\sqrt{3}$，
∴△DPQ的邊長為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、等邊三角形的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出PQ∥x軸是解題的關(guān)鍵．