Question

2．如圖，已知一次函數(shù)y=-2x+3的圖象與x軸交于點A，與反比例函數(shù)y=-$\frac{5}{x}$的圖象交于B，C兩點，點P是線段AB上的一個動點．
（1）當(dāng)x取何值時，反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值；
（2）過點P作x軸的平行線與反比例函數(shù)y=-$\frac{5}{x}$的圖象相交于點D，求△PAD的面積的最大值；
（3）在反比例函數(shù)y=-$\frac{5}{x}$的圖象上找點E，使∠BCE為直角，直接寫出點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求得B、C的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可求得反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值時自變量的取值范圍；
（2）可設(shè)出D點坐標(biāo)為（-$\frac{5}{t}$，t），從而可表示出P點坐標(biāo)，可用t表示出PD的長和A到PD的距離，從而可用t表示出△PAD的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；
（3）由垂直關(guān)系可求得直線CE的解析式，聯(lián)立直線CE與反比例函數(shù)的解析式，則可求得E點坐標(biāo)．

解答 解：
（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=-\frac{5}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（-1，5），C（$\frac{5}{2}$，-2），
由圖象可知當(dāng)x＜-1或0＜x＜$\frac{5}{2}$時，反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值；

（2）在y=-2x+3中，令y=0可解得x=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\frac{3}{2}$，0），
∵點P是線段AB上的一個動點，PD∥y軸，
∴可設(shè)D（-$\frac{5}{t}$，t）（0＜t＜5），
∵PD∥y軸，
∴P（$\frac{3-t}{2}$，t），
∴PD=$\frac{3-t}{2}$-（-$\frac{5}{t}$）=$\frac{3-t}{2}$+$\frac{5}{t}$，且A到PD的距離為t，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}$t（$\frac{3-t}{2}$+$\frac{5}{t}$）=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{4}$t+$\frac{5}{2}$=-$\frac{1}{4}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{49}{16}$，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，△PAD的面積最大，最大面積為$\frac{49}{16}$；

（3）∵∠BCE為直角，
∴CE⊥BC，
∵直線BC解析式為y=-2x+3，
∴可設(shè)直線CE解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，
把C（$\frac{5}{2}$，-2）代入可得-2=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{2}$+b，解得b=-$\frac{13}{4}$，
∴直線CE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{13}{4}$，
聯(lián)立直線CE與反比例函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-\frac{13}{4}}\\{y=-\frac{5}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴E點坐標(biāo)為（4，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)圖象的交點、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法、垂直直線的特征及數(shù)形結(jié)合思想等知識．在（1）中求得B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合，在（2）中設(shè)D點的縱坐標(biāo)為t，用t表示出△PAD的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得直線CE的解析式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．