Question

13．如圖，正方形ABCD中，AE=BF．
（1）求證：△BCE≌△CDF；
（2）求證：CE⊥DF；
（3）若CD=4，且DG²+GE²=18，則BE=4-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由正方形ABCD，得到四條邊相等，四個角為直角，利用SAS即可得證；
（2）由（1）△BCE≌△CDF，得到一對角相等，利用同角的余角相等及垂直的定義即可得證；
（3）連接DE，首先證明△DGE是直角三角形，利用勾股定理結合正方形的性質即可求出AE，進一步得出BE．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCF=∠B=90°，
在△DCF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠DCF=∠B}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△CBE（SAS）；

（2）∵△DCF≌△CBE，
∴∠CDF=∠ECB，
∵∠ECB+∠GCD=90°，
∴∠CDF+∠GCD=90°，即∠DGC=90°，
則CE⊥DF；

（3）如圖，連接DE，
∵△DCF≌△CBE，
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠DFC=90°，
∴∠CGF=90°；
∴∠EGD=90°，
∴△DGE是直角三角形，
∵DE²=DG²+GE²=18，
∵CD=4，
∴AD=CD=4，
∴AE=$\sqrt{D{E}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{18-16}$=$\sqrt{2}$，
∴BE=AB-AE=4-$\sqrt{2}$．
故答案為：（3）4-$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了四邊形綜合題，涉及到了全等三角形的判定與性質，勾股定理，以及正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．