Question

15．已知，如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x-4與x軸，y軸分別交于B、A，將該直線繞A點順時針旋轉(zhuǎn)α，且tanα=$\frac{1}{4}$，旋轉(zhuǎn)后與x軸交于C點．
（1）求A、B、C的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點P，使有一動點能在最短的時間內(nèi)從點A出發(fā)，沿著A-P-C的運動到達C點，并且在AP上以每秒2個單位的速度移動，在PC上以每秒$\sqrt{85}$個單位移動，試用尺規(guī)作圖找到P點的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），并求出所用的最短時間t．

Answer 1

分析 （1）過B作BD⊥AB交AC于D，過D作DE⊥x軸于E，則△AOB∽△BED，得到$\frac{AO}{BE}$=$\frac{OB}{ED}$=$\frac{AB}{BD}$，求出點D坐標(biāo)，求出AC的解析式即可求出點C坐標(biāo)．
（2）過點（0，4）作AC的垂線垂足為Q，該垂線與x軸的交點即為P點．設(shè)點F（0，4），則A、F關(guān)于x軸對稱，所以AP=FP，首先證明t=$\frac{FQ}{2}$，由此推出
點P就是所求的點，此時動點能在最短的時間內(nèi)從點A出發(fā)，沿著A-P-C的運動到達C點，求出FQ的長即可解決問題．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{1}{2}$x-4與x軸，y軸分別交于B、A，
∴A（0，-4），B（8，0），
過B作BD⊥AB交AC于D，過D作DE⊥x軸于E，則△AOB∽△BED
∴$\frac{AO}{BE}$=$\frac{OB}{ED}$=$\frac{AB}{BD}$，
∵OA=4，OB=8，∠BAD=α，tanα=$\frac{1}{4}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴BE=1，DE=2
∴D（9，-2）∴直線AC解析式為y=$\frac{2}{9}$x-4
∴C（18，0）．

（2）過點（0，4）作AC的垂線垂足為Q，該垂線與x軸的交點即為P點．
設(shè)點F（0，4），則A、F關(guān)于x軸對稱，所以AP=FP，
∵S_△ACF=$\frac{1}{2}$AF•OC=$\frac{1}{2}$AC•FQ，AF=8，OC=18，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+1{8}^{2}}$=2$\sqrt{85}$，
∴FQ=$\frac{72}{\sqrt{85}}$，
∵△CQP∽△COA，
∴$\frac{CP}{AC}$=$\frac{PQ}{OA}$，
∴$\frac{PC}{2\sqrt{85}}$=$\frac{PQ}{4}$，
∴$\frac{PC}{\sqrt{85}}$=$\frac{PQ}{2}$，
∴t=$\frac{AP}{2}$+$\frac{PC}{\sqrt{85}}$=$\frac{FP}{2}$+$\frac{PQ}{2}$=$\frac{FQ}{2}$，
∵FQ是垂線段，
∴點P就是所求的點，此時動點能在最短的時間內(nèi)從點A出發(fā)，沿著A-P-C的運動到達C點，
∴t=$\frac{36}{85}$$\sqrt{85}$．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用相似三角形性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短，找到點P的位置，屬于中考壓軸題．