Question

16．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=60°，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD．
（1）求∠CAD的度數(shù)；
（2）若OA=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）連接OD．由切線的性質(zhì)可知OD⊥BC，從而可證明AC∥OD，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證明∠CAD=∠OAD；
（2）連接OE，ED、OD．先證明ED∥AO，然后依據(jù)同底等高的兩個三角形的面積相等可知S_△AED=S_△EDO，于是將陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為扇形EOD的面積求解即可．

解答 解：（1）連接OD．

∵BC是⊙O的切線，D為切點，
∴OD⊥BC．
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠ADO=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠OAD，
∴∠CAD=∠OAD=30°．
（2）連接OE，ED．

∵∠BAC=60°，OE=OA，
∴△OAE為等邊三角形．
∴∠AOE=60°，
∴∠ADE=30°．
又∵∠CAB=60°，∠CAD=30°，
∴∠DAO=30°．
∴∠ADE=∠OAD．
∴ED∥AO．
∴S_△AED=S_△EDO．
∴陰影部分的面積=S_扇形EOD=$\frac{60×π×4}{360}$=$\frac{2}{3}$π．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形EOD的面積求解是解題的關(guān)鍵．