Question

18．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，E為AB延長線上一點，CE交⊙O于點F
（1）求證：BF平分∠DFE；
（2）若EF=DF，BE=5，AH=$\frac{9}{4}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和圓周角定理求出∠EFB=∠CDB，∠BCD=∠DFB，根據(jù)垂徑定理求出CH=DH，求出BC=BD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠BCD=∠CDB，求出∠EFB=∠DFB即可；
（2）根據(jù)全等三角形的判定求出△DFB≌△EFB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出BD=BE=5，證△DHB∽△ADB，根據(jù)相似得出比例式，代入求出即可．

解答 （1）證明：∵C、D、B、F四點共圓，
∴∠EFB=∠CDB，∠BCD=∠DFB，
∵CD⊥OA，OA過O，
∴CH=DH，
∴BC=BD，
∴∠BCD=∠CDB，
∴∠EFB=∠DFB，
∴BF平分∠DFE；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，
∵在△DFB和△EFB中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=EF}\\{∠DFB=∠EFB}\\{FB=FB}\end{array}\right.$
∴△DFB≌△EFB（SAS），
∴BD=BE，
∵BE=5，
∴BD=5，
∵AB為⊙O直徑，CD⊥AB，
∴∠ADB=∠DHB=90°，
∵∠DBH=∠ABD，
∴△DHB∽△ADB，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{BH}{BD}$，
∵AH=$\frac{9}{4}$，BD=5，AB=2R，BH=2R-$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{5}{2R}$=$\frac{2R-\frac{9}{4}}{5}$，
解得：R=$\frac{25}{8}$，R=-2（舍去），
即⊙O的半徑是$\frac{25}{8}$．

點評 本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓內(nèi)接四邊形，垂徑定理等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．