Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），如果點(diǎn)Q（x，y′）的縱坐標(biāo)滿(mǎn)足y′=$\left\{\begin{array}{l}{x-y（當(dāng)x≥y時(shí)）}\\{y-x（當(dāng)x＜y時(shí)）}\end{array}\right.$，那么稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)（3，5）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)（3，2）；
（2）如果點(diǎn)P在函數(shù)y=x-2的圖象上，其“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Q與點(diǎn)P重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)M（m，n）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N在函數(shù)y=2x²的圖象上，當(dāng)0≤m≤2時(shí)，求線段MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，可得答案；
（2）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，可得N的坐標(biāo)，根據(jù)平行于y的直線上兩點(diǎn)間的距離，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案

解答 解：（1）∵3＜5，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，
∴y′=5-3=2，
點(diǎn)（3，5）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的坐標(biāo)（3，2），
故答案為：（3，2）；

（2）∵點(diǎn)P在函數(shù)y=x-2的圖象上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x-2）．
∵x＞x-2，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，2）．
又∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，
∴x-2=2，解得x=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，2）；

（3）點(diǎn)M（m，n）的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”N，由關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，得
第一種情況：當(dāng)m≥n時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m-n），
∵N在函數(shù)y=2x²的圖象上，
∴m-n=2m²，n=-2m²+m，即y_M=-2m²+m，y_N=2m²，
∴MN=|y_M-y_N|=|-4m²+m|，
①當(dāng)0≤m≤$\frac{1}{4}$，-4m²+m＞0，
MN=-4m²+m=-4（m-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{1}{16}$，
∴當(dāng)m=$\frac{1}{8}$時(shí)，線段MN的最大值是$\frac{1}{16}$；
②當(dāng)$\frac{1}{4}$＜m≤2時(shí)，-4m²+m＜0，
MN=4m²-m=4（m-$\frac{1}{8}$）²-$\frac{1}{16}$，當(dāng)m=2時(shí)，線段MN的最大值是14；
第二種情況：當(dāng)m＜n時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，n-m），
∵N在函數(shù)y=2x²的圖象上，
∴n-m=2m²，即n=2m²+m，
∴y_M=2m²+m，y_N=2m²，
∴MN=|y_M-y_N|=|m|，
∵0≤m≤2，
∴MN=m，
∴當(dāng)m=2時(shí)，線段MN的最大值是2；
綜上所述：當(dāng)m≥n時(shí)，線段MN的最大值是14；當(dāng)m＜n時(shí)，線段MN的最大值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義；解（2）的關(guān)鍵是利用關(guān)聯(lián)點(diǎn)在同一函數(shù)圖象上得出方程；解（3）的關(guān)鍵是利用關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義得出M，N的縱坐標(biāo)，又利用了平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離，要分類(lèi)討論，以防遺漏．