Question

4．已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=$\sqrt{3}$x與AB相交于C點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，分別交直線y=$\sqrt{3}$x和直線y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合），以PQ為邊向左作正△PQR，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M（2，3$\sqrt{3}$）正好在△PQR的某邊上，直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，可求A點(diǎn)的橫坐標(biāo)；令x=0，可求B點(diǎn)的橫坐標(biāo)；直線y=$\sqrt{3}$x與直線y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$聯(lián)立可求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）本題只需考慮點(diǎn)M（2，3$\sqrt{3}$）正好在△PQR的某邊上，求出t的取值即可．

解答 解：（1）令y=0，則0=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$，
解得：x=6，
故A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）；
令x=0，則y=-$\sqrt{3}$×0+6$\sqrt{3}$，
解得：y=6$\sqrt{3}$，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，6$\sqrt{3}$）；
∵直線y=$\sqrt{3}$x與AB相交于C點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+6\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3$\sqrt{3}$）；

（2）∵P在直線y=$\sqrt{3}$x上，
∴tan∠POD=$\frac{PD}{OD}=\sqrt{3}$，
∴∠POD=60°，∠OPD=30°
∵OD=t，
∴PD=$\sqrt{3}$t，
∵Q在直線y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$上，
∴DQ=-$\sqrt{3}t+6\sqrt{3}$，
當(dāng)M在QP上，如圖1，
∵PD⊥x軸，OD=t，
∵M(jìn)（2，3$\sqrt{3}$），
∴t=2，
當(dāng)M在RQ上，如圖2，過(guò)M作MN⊥PQ于N，
∵△PQR是等邊三角形，
∴∠MQN=60°，
∴△MQN∽△PDO，
∴$\frac{MN}{PD}=\frac{QN}{OD}$，
∴$\frac{t-2}{\sqrt{3}t}=\frac{-\sqrt{3}t+6\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{t}$，
∴t=$\frac{11}{4}$，
當(dāng)M在RP上時(shí)，如圖3，過(guò)M作ME⊥PQ于E，
同理△MPE∽△POD，
∴$\frac{ME}{PD}=\frac{PE}{OD}$，
∴$\frac{2-t}{\sqrt{3}t}=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{t}$，
∴t=$\frac{7}{2}$．
綜上所述：點(diǎn)M（2，3$\sqrt{3}$）正好在△PQR的某邊上，t的值為2，$\frac{11}{4}$，$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解二元一次方程組求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角函數(shù)值求角的度數(shù)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．