Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AC、AB為斜邊向△ABC外作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，取AB的中點(diǎn)M，連接MD，ME分別交AC、BC于點(diǎn)P、Q，直線PQ分別交AD、BE于點(diǎn)F、G．有以下結(jié)論：①△MDE是等腰直角三角形；②PQ=PF+QG；③△APF∽△EQG；④S_△ACD+S_△BCE=S_△ABC．
其中正確的是①②③．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）

Answer 1

分析 ①連接CM，如圖1，
先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：AM=CM=BM，利用SSS證明△MAD≌△MCD，則∠MDC=∠ADM=45°，同理得：∠MEC=45°，所以△MDE是等腰直角三角形；
②如圖2，作平行線CH，先證明△AFP≌△CHP，得PH=PF，則HQ=GQ，可得結(jié)論；
③根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明兩三角形相似；
④設(shè)AC=b，BC=a，AB=c，代入三角形面積公式計(jì)算可得：S_△ADC+S_△BCE-S_△ABC=$\frac{1}{4}（a-b）^{2}$≥0，
當(dāng)a=b時(shí)，S_△ACD+S_△BCE＞S_△ABC，作出判斷．

解答 解：①連接CM，如圖1，
∵∠ACB=90°，AB的中點(diǎn)M，
∴AM=CM=BM，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴∠ADC=∠BEC=90°，AD=CD，BE=CE，
∠ACD=∠BCE=45°，
∴∠ACD+∠ACB+∠BCE=45°+90°+45°=180°，
∴D、C、E三點(diǎn)共線，
∵DM=DM，
∴△MAD≌△MCD（SSS），
∴∠MDC=∠ADM=45°，
同理得：∠MEC=45°，
∴∠DME=90°，
∴△MDE是等腰直角三角形；
故①正確；
②如圖2，過(guò)C作CH∥AD，
∵AD∥BE，
∴CH∥AD∥BE，
∴∠AFP=∠HCP，
由①知：∠ADP=∠CDP，
∵AD=CD，
∴AP=CP，
∵∠APF=∠CPH，
∴△AFP≌△CHP，
∴PH=PF，
同理可得：HQ=GQ，
∴PQ=PH+HQ=PF+GQ；
故②正確；
③∵AD∥BE，
∴∠AFP=∠EGQ，
∵∠DAC=∠QEG=45°，
∴△AFP∽△EGQ，
故③正確；
④設(shè)AC=b，BC=a，AB=c，
易得S_△ADC=$\frac{1}{4}$b²，S_△BCE=$\frac{1}{4}{a}^{2}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab，
∴S_△ADC+S_△BCE-S_△ABC=$\frac{1}{4}（a-b）^{2}$≥0，
當(dāng)a=b時(shí)，S_△ACD+S_△BCE＞S_△ABC，
故④不正確；
綜上所述，①②③正確；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形相似和全等的性質(zhì)和判定，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，有難度，恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線是關(guān)鍵，熟練掌握相似三角形的判定方法：常運(yùn)用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似．