Question

9．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點E在AC邊上，BE平分∠ABC，CD⊥BE于點D，連接AD，若BE=10，則AD的長是5．

Answer 1

分析 延長BA、CD相交于點F，根據(jù)同角的余角相等求出∠F=∠AEB，再利用“角角邊”求出△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=BE，再利用“角邊角”證明△BCD和△BFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CD=DF，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=$\frac{1}{2}$CF．

解答 解：如圖，延長BA、CD相交于點F，
∵∠BAC=90°，CD⊥BE，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∠ABE+∠F=90°，
∴∠F=∠AEB，
在△ABE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AEB}\\{∠BAE=∠CAF=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴CF=BE=10，
∵BE平分∠ABC，
∴∠BCD=∠DBF，
在△BCD和△BFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠DBF}\\{BD=BD}\\{∠BDC=∠BDF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△BFD（ASA），
∴CD=DF，
又∵∠CAF=∠BAC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$×10=5．
故答案為：5．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．