Question

18．已知，如圖，正方形ABCD，
（1）若點(diǎn)P為對(duì)角線(xiàn)AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)證明PD=PB；
（2）若點(diǎn)P為邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DP為邊在AB同側(cè)作正方形DPMN，
①試說(shuō)明N點(diǎn)一定在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上；
②若正方形的邊長(zhǎng)為2，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接PD，PB，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=AB，∠DAC=∠BAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CD，PD=DN，∠ADC=∠PDN=90°，根據(jù)角的和差得到∠ADP=∠CDN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DCN=∠A=90°，于是得到結(jié)論；
（3）如圖2，連接BM，過(guò)M作MH⊥BC于H，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DNC=∠NMH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=NH，CN=HM，等量代換得到HM=BH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠MBH=45°，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接PD，PB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，
在△DAP與△BAP中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAP=∠BAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△BAP，
∴PD=PB；

（2）∵四邊形ABCD和四邊形DPMN是正方形，
∴AD=CD，PD=DN，∠ADC=∠PDN=90°，
∴∠ADP=∠CDN，
在△ADP與△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADP=∠CDN}\\{PD=DN}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDN，
∴∠DCN=∠A=90°，
∴∠BCN=∠BCD+∠DCN=180°，
∴N點(diǎn)一定在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上；

（3）如圖2，連接BM，過(guò)M作MH⊥BC于H，
∴∠DNC+∠MNH=∠MNH+∠NMH=90°，
∴∠DNC=∠NMH，
在△CDN與△HNM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DNC=∠HNM}\\{∠DCN=∠NHM}\\{CD=HN}\end{array}\right.$，
∴△DCN≌△NHM，
∴CD=NH，CN=HM，
∴BC=HN，
∴CN=BH，
∴HM=BH，
∴∠MBH=45°，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=BD=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．