Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…，按如圖的方式放置．點(diǎn)A₁，A₂，A₃…、A_n和點(diǎn)C₁，C₂，C₃…、C_n分別落在直線y=x+1和x軸上．拋物線L₁過點(diǎn)A₁、B₁，且頂點(diǎn)在直線y=x+1上，拋物線L₂過點(diǎn)A₂、B₂，且頂點(diǎn)在直線y=x+1上，…，按此規(guī)律，拋物線L_n過點(diǎn)A_n、B_n，且頂點(diǎn)也在直線y=x+1上，其中拋物線L₁交正方形A₁B₁C₁O的邊A₁B₁于點(diǎn)D₁，拋物線L₂交正方形A₂B₂C₂C₁的邊A₂B₂于點(diǎn)D₂…，拋物線L_n交正方形A_nB_nC_nC_n-1的邊A_nB_n于點(diǎn)D_n（其中n≥2且n為正整數(shù)）．
（1）直接寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)：B₁（1，1），B₂（3，2），B₃（7，4）；
（2）寫出拋物線L₂，、L₃的解析式，并寫出其中一個解析式的求解過程，再猜想拋物線L_n的頂點(diǎn)坐標(biāo)（3×2^n-2-1，3×2^n-2）；
（3）①設(shè)A₁D₁=k•D₁B₁，A₂D₂=k₂•D₂B₂，試判斷k₁與k₂的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
②點(diǎn)D₁、D₂、…，D_n是否在一條直線上？若是，直接寫出這條直線與直線y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出直線y=x+1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出A₁的坐標(biāo)，故可得出OA₁的長，根據(jù)四邊形A₁B₁C₁O是正方形即可得出B₁的坐標(biāo)，再把B₁的橫坐標(biāo)代入直線y=x+1即可得出A₁的坐標(biāo)，同理可得出B₂，B₃的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)四邊形A₁B₁C₁O是正方形得出C₁的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A₂在直線y=x+1上可知A₂（1，2），B₂的坐標(biāo)為（3，2），由拋物線L₂的對稱軸為直線x=2可知拋物線L₂的頂點(diǎn)為（2，3），再用待定系數(shù)法求出直線L₂的解析式；根據(jù)B₃的坐標(biāo)為（7，3），同上可求得點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（3，4），拋物線L₃的對稱軸為直線x=5，同理可得出直線L₂的解析式；
（3）①同（2）可求得L₂的解析式為y=（x-2）²+3，當(dāng)y=1時，求出x的值，由A₁D₁=$\sqrt{2}$-D₁B₁，可得出k₁的值，同理可得出k₂的值，由此可得出結(jié)論；
②由①中的結(jié)論可知點(diǎn)D₁、D₂、…，D_n是否在一條直線上，再用待定系數(shù)法求出直線D₁D₂的解析式，求出與直線y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵令x=0，則y=1，
∴A₁（0，1），
∴OA₁=1．
∵四邊形A₁B₁C₁O是正方形，
∴A₁B₁=1，
∴B₁（1，1）．
∵當(dāng)x=1時，y=1+1=2，
∴B₂（3，2）；
同理可得，B₃（7，4）．
故答案為：（1，1），（3，2），（7，4）；

（2）拋物線L₂、L₃的解析式分別為：y=-（x-2）²+3；，y=-$\frac{1}{2}$（x-5）²+6；
拋物線L₂的解析式的求解過程：
對于直線y=x+1，設(shè)x=0，可得y=1，A₁（0，1），
∵四邊形A₁B₁C₁O是正方形，
∴C₁（1，0），
又∵點(diǎn)A₂在直線y=x+1上，
∴點(diǎn)A₂（1，2），
又∵B₂的坐標(biāo)為（3，2），
∴拋物線L₂的對稱軸為直線x=2，
∴拋物線L₂的頂點(diǎn)為（2，3），
設(shè)拋物線L₂的解析式為：y=a（x-2）²+3，
∵L₂過點(diǎn)B₂（3，2），
∴當(dāng)x=3時，y=2，
∴2=a（3-2）²+3，解得：a=-1，
∴拋物線L₂的解析式為：y=-（x-2）²+3； 
拋物線L₃的解析式的求解過程：
又∵B₃的坐標(biāo)為（7，3），同上可求得點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（3，4），
∴拋物線L₃的對稱軸為直線x=5，
∴拋物線L₃的頂點(diǎn)為（5，6），
設(shè)拋物線L₃的解析式為：y=a（x-5）²+6，
∵L₃過點(diǎn)B₃（7，4），
∴當(dāng)x=7時，y=-4，
∴4=a×（7-5）²+6，解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線L₃的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$（x-5）²+6；
猜想拋物線L_n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3×2^n-2-1，3×2^n-2）；
（猜想過程：方法1：可由拋物線L₁、L₂、L₃…的解析式：
∵y=-2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，y=-（x-2）²+3，y=-$\frac{1}{2}$（x-5）²+6…，歸納總結(jié)；
方法2：可由正方形A_nB_nC_nC_n-1頂點(diǎn)A_n、B_n的坐標(biāo)規(guī)律A_n（2^n-1-1，2^n-1）與
B_n（2ⁿ，2^n-1），再利用對稱性可得拋物線L_n的對稱軸為直線x=$\frac{{2}^{n}-1+{2}^{n-1}-1}{2}$，即x=$\frac{{2}^{n-1}（4+2）-2}{2}$=3×2^n-2-1，又頂點(diǎn)在直線 y=x+1上，
所以可得拋物線L_n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3×2^n-2-1，3×2^n-2）．
故答案為：（3×2^n-2-1，3×2^n-2）；

（3）①、k₁與k₁的數(shù)量關(guān)系為：k₁=k₂，
理由如下：同（2）可求得L₂的解析式為y=（x-2）²+3，
當(dāng)y=1時，1=-（x-2）²+3解得：x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$，
∴x=2-$\sqrt{2}$，
∴A₁D₁=2-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），
∴D₁B₁=1-（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
∴A₁D₁=$\sqrt{2}$-D₁B₁，即k₁=$\sqrt{2}$；
同理可求得A₂D₂=4-2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），
D₂B₂=2-（4-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2=2（$\sqrt{2}$-1），
A₂D₂=$\sqrt{2}$-D₂B₂，即k₂=$\sqrt{2}$，
∴k₁=k₂；
②∵由①知，k₁=k₂，
∴點(diǎn)D₁、D₂、…，D_n在一條直線上；
∵拋物線L₂的解析式為y=-（x-2）²+3，
∴當(dāng)y=1時，x=2-$\sqrt{2}$，
∴D₁（2-$\sqrt{2}$，1）；
同理，D₂（5-2$\sqrt{2}$，2），
∴設(shè)直線D₁D₂的解析式為y=kx+b（k≠0），則$\left\{\begin{array}{l}（2-\sqrt{2}）k+b=1\\（5-2\sqrt{2}）k+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=3+\sqrt{2}\\ b=\sqrt{2}+3\end{array}\right.$，
∴直線D₁D₂的解析式為y=（3+$\sqrt{2}$）x+$\sqrt{2}$-3，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=（3+\sqrt{2}）x+\sqrt{2}+3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}\right.$，
∴這條直線與直線y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．

點(diǎn)評 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正方形的性質(zhì)等知識，熟練掌握正方形的四條邊相等且四個角都是直角的知識是解答此題的關(guān)鍵．