Question

12．已知△ABC中，∠A=x°

（1）如圖1，若∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點O，則用含x的代數(shù)式表示∠BOC，寫出推理過程．
（2）如圖2，若∠ABC和∠ACB的三等分線相交于點O₁、O₂，則用含x的代數(shù)式表示∠BO₁C，寫出推理過程．
（3）如圖3，若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點O₁、O₂、…、O_n-1，則用含n，x的代數(shù)式表示∠BO₁C，不需要推理過程，直接寫出結果．

Answer 1

分析 （1）由∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點O，易得：2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，又由三角形內角和定理，可得：∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，即可求得∠BOC的值；
（2）由∠ABC和∠ACB的三等分線相交于點O₁、O₂，即可得∠O₁BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{2}{3}$∠ACB，又由三角形內角和定理，可得：∠A+$\frac{3}{2}$∠O₁BC+$\frac{3}{2}$∠O₁CB=180°，∠BO₁C+∠O₁BC+∠O₁CB=180°，即可求得∠BO₁C的值；
（3）觀察（1）（2），即可得規(guī)律：若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點O₁、O₂、…、O_n-1，
則∠BO₁C=（$\frac{180}{n}$+$\frac{n-1}{n}$x）°

解答 解：（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點O，
∴2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=x°，
∴∠BOC=（90+$\frac{1}{2}$x）°；

（2）∵∠ABC和∠ACB的三等分線相交于點O₁、O₂，
∴∠O₁BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{2}{3}$∠ACB，
∴$\frac{3}{2}$∠O₁BC=∠ABC，$\frac{3}{2}$∠O₁CB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+$\frac{3}{2}$∠O₁BC+$\frac{3}{2}$∠O₁CB=180°，
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{2}{3}$（180°-∠A），
∵∠BOC=180°-（∠O₁BC+∠O₁CB）=60°+$\frac{2}{3}$∠A，
∵∠A=x°，
∴∠BOC=（60+$\frac{2}{3}$x）°；

（3）由（1）（2）可得規(guī)律為：
若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點O₁、O₂、…、O_n-1，
則用x表示∠BO₁C=（$\frac{180}{n}$+$\frac{n-1}{n}$x）°

點評 此題考查了角的等分線的性質以及三角形內角和定理．注意找的規(guī)律：若∠ABC和∠ACB的n等分線相交于點O₁、O₂、…、O_n-1，則用x表示∠BO₁C=（ $\frac{180}{n}$+$\frac{n-1}{n}$x）°，是解此題的關鍵．