Question

13．如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，且OA，OC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x²-18x+80=0的兩個(gè)根（OA＜OC），點(diǎn)E在BC上，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在OC上．
（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，求k的值；
（3）在直線AD，ED上是否分別存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使以C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程可求得OA、OC的長(zhǎng)，則可求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（2）由折疊的性質(zhì)可得AD=AB，DE=BE，在Rt△AOD中可求得OD，則可求得CD，設(shè)CE=y，則可用y表示出DE的長(zhǎng)，在Rt△CDE中，由勾股定理可得到關(guān)于y的方程，可求得CE的長(zhǎng)，則可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k的值；
（3）用待定系數(shù)法可求得直線AD、DE的解析式，則可設(shè)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)CD為平行四邊形的邊時(shí)，則用t可表示出MN，由MN=CD可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，如圖4，過M作MG⊥OC于G，可知此時(shí)平行四邊形為矩形，利用同角的三角函數(shù)求出MG、CG的長(zhǎng)，從而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）解方程x²-18x+80=0，可得x=10或x=8，
∵OA，OC的長(zhǎng)分別是一元二次方程x²-18x+80=0的兩個(gè)根（OA＜OC），
∴OA=8，OC=10，
∴A（0，8），C（10，0）；
（2）由折疊得：AD=AB=10，DE=BE，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得：OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=6，
∴CD=OC-OD=10-6=4，
設(shè)CE=y，則BE=DE=8-y，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得：DE²=CE²+DC²，
即（8-y）²=y²+4²，解得y=3，
∴E（10，3），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，
∴k=10×3=30；
（3）∵A（0，8），D（6，0），E（10，3），
∴設(shè)直線AD解析式為y=kx+8，
把D（6，0），A（0，8）代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AD解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+8，
設(shè)直線DE解析式為y=mx+s，
把D、E坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{6m+s=0}\\{10m+s=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{s=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線DE解析式為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{2}$，
∵點(diǎn)M在直線AD上，
∴設(shè)M（t，-$\frac{4}{3}$t+8），
∵以C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴有CD為邊和CD為對(duì)角線兩種情況，
①當(dāng)CD為邊時(shí)，則MN∥CD，且MN=CD=4，
當(dāng)M、N在x軸上方時(shí)，如圖2，則N點(diǎn)坐標(biāo)為（t+4，-$\frac{4}{3}$t+8），
代入直線DE解析式可得-$\frac{4}{3}$t+8=$\frac{3}{4}$（t+4）-$\frac{9}{2}$，解得t=$\frac{114}{25}$
當(dāng)t=$\frac{114}{25}$時(shí)，-$\frac{4}{3}$t+8=-$\frac{4}{3}$×$\frac{114}{25}$+8=$\frac{48}{25}$
∴M（$\frac{114}{25}$，$\frac{48}{25}$）；
當(dāng)M、N在x軸下方時(shí)，則N點(diǎn)坐標(biāo)為（t-4，-$\frac{4}{3}$t+8），
代入直線DE解析式可得-$\frac{4}{3}$t+8=$\frac{3}{4}$（t-4）-$\frac{9}{2}$，解得t=$\frac{186}{25}$
當(dāng)t=$\frac{186}{25}$時(shí)，-$\frac{4}{3}$t+8=-$\frac{4}{3}$×$\frac{186}{25}$+8=-$\frac{48}{25}$
∴M（$\frac{186}{25}$，-$\frac{48}{25}$）；
②當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，如圖4，過M作MG⊥OC于G，
由折疊得：∠ADE=∠B=90°，
∴∠EDM=90°，
∴?DMCN是矩形，
∴∠DNC=∠DMC=90°，
sin∠EDC=$\frac{EC}{ED}=\frac{NC}{DC}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{NC}{4}$，
∴NC=$\frac{12}{5}$，
由勾股定理得：DN=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴DM=NC=$\frac{12}{5}$，CM=DN=$\frac{16}{5}$，
∵DN∥MC，
∴∠EDC=∠DCM，
sin∠EDC=sin∠DCM=$\frac{3}{5}$=$\frac{MG}{CM}$，
$\frac{3}{5}$=$\frac{MG}{\frac{16}{5}}$，
∴MG=$\frac{48}{25}$，
同理可得：CG=$\frac{64}{25}$，
∴OG=10-$\frac{64}{25}$=$\frac{186}{25}$，
∴M（$\frac{186}{25}$，-$\frac{48}{25}$）；
綜上所述，存在點(diǎn)M和點(diǎn)N，使以C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{114}{25}$，$\frac{48}{25}$）或（$\frac{186}{25}$，-$\frac{48}{25}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)、矩形、方程的綜合題，考查了坐標(biāo)與圖形特點(diǎn)，矩形、平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，折疊等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意第三問中存在的平行四邊形要采用分類討論的思想，不要漏解，要從CD為邊和對(duì)角線兩方面考慮．