Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于F，交BC于E．求證：BE=2CE．

Answer 1

分析 利用輔助線，連接AE，求出CE=AE，∠BAE=90°，再根據(jù)AB=AC，∠BAC=120°可求出∠B的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)即可求出BE=2AE=2CE．

解答 證明：如圖，連接AE，

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=（180°-120°）÷2=30°，
∵AC的垂直平分線EF交AC于點F，交BC于點E，
∴CE=AE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），
∴∠EAC=∠C=30°（等邊對等角），
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=120°-30°=90°，
在Rt△ABE中，∠B=30°，
∴BE=2AE（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），
∴BE=2CE（等量代換）．

點評 本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關鍵是熟記垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等．