Question

3．已知，如圖：在△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE，交∠ACB的平分線于點E，交AB于點D．
求證：CD=ED．

Answer 1

分析 過E作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N，連接AE、BE，根據(jù)垂直平分線的性質和角平分線的性質得出AE=BE，EM=EN，∠AME=∠N=90°，證Rt△AME≌Rt△BNE，推出∠AEM=∠BEN，求出∠AEB=90°，根據(jù)直角三角形性質得出ED=$\frac{1}{2}$AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，即可得出答案．

解答 證明：過E作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N，連接AE、BE，
∵DE為AB的垂直平分線，CE是∠ACB的角平分線，
∴AE=BE，EM=EN，∠AME=∠N=90°，
在Rt△AME和Rt△BNE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{EM=EN}\end{array}\right.$
∴Rt△AME≌Rt△BNE（HL），
∴∠AEM=∠BEN，
∵∠ACB=90°，EM⊥AC，EN⊥BC，
∴∠CME=∠ACB=∠N=90°，
∴∠MEN=360°-3×90°=90°，
∴∠AEB=∠AEM+∠BEM=∠BEN+∠BEM=∠MEN=90°，
∵DE垂直平分AB，
∴ED=$\frac{1}{2}$AB，
同理CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=ED．

點評 本題考查了線段垂直平分線性質，角平分線性質，全等三角形的性質和判定的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．