Question

12．已知直線y=kx+6（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)k=-1時(shí)，線段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖1）．
①直接寫(xiě)出t=1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求t的值．
（2）當(dāng)k=-$\frac{3}{4}$時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點(diǎn)為D（如圖2），①求CD的長(zhǎng)； ②設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t為何值時(shí)，h的值最大？

Answer 1

分析 （1）①求出函數(shù)解析式，求出A、B的坐標(biāo)，當(dāng)t=1，求出OP=2，AQ=2，從而得到C，Q的解析式；
②由題意得，P（2t，0），C（2t，-2t+6），Q（6-2t，0），分兩種情況討論：情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC=∠AOB=90°；情形二：當(dāng)△ACQ∽△AOB時(shí)，∠ACQ=∠AOB=90°．
（2）①由題意得：C（2t，-$\frac{3}{2}$t+6），根據(jù)△DEC∽△AOB，得到$\frac{DE}{AO}$=$\frac{CD}{BA}$，求出CD的長(zhǎng)；
②S_△COD為定值，要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短，當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最短，此時(shí)OC的長(zhǎng)為$\frac{24}{5}$，判斷出Rt△PCO∽R(shí)t△OAB，得到$\frac{OP}{BO}$=$\frac{OC}{BA}$，解答即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=-1時(shí)，直線為y=-x+6，可知，A（6，0），B（0，6），
①t=1時(shí)，OP=2，得C（2，4）；AQ=2，得Q（4，0）．
②由題意得，P（2t，0），C（2t，-2t+6），Q（6-2t，0），
分兩種情況討論：情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ=OP，即6-2t=2t，
∴t=1.5．
情形二：當(dāng)△ACQ∽△AOB時(shí)，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=6，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACO也是等腰直角三角形，
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，即2t=2（-2t+6），
∴t=2，
∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．
（2）①由題意得：C（2t，-$\frac{3}{2}$t+6），
∴以C為頂點(diǎn)的拋物線解析式是y=（x-2t）²-$\frac{3}{2}$t+6，
由（x-2t）²-$\frac{3}{2}$t+6=-$\frac{3}{4}$x+6，
解得x₁=2t，x₂=2t-$\frac{3}{4}$，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC=∠AOB=90°
∵DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴$\frac{DE}{AO}$=$\frac{CD}{BA}$，
∵AO=8，AB=10，
∵AO=8，AB=10，
DE=2t-（2t-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
∴CD=$\frac{DE×BA}{AO}$=$\frac{\frac{3}{4}×10}{8}$=$\frac{15}{16}$
②∵CD=$\frac{15}{16}$，
CD邊上的高=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{16}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{9}{4}$，
∴S_△COD為定值，要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短，當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最短，此時(shí)OC的長(zhǎng)為$\frac{24}{5}$，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽R(shí)t△OAB．
∴$\frac{OP}{BO}$=$\frac{OC}{BA}$，
OP=$\frac{OC×OB}{BA}$=$\frac{\frac{24}{5}×6}{10}$=$\frac{72}{25}$，
2t=$\frac{72}{25}$，
∴t=$\frac{36}{25}$，
∴當(dāng)t為$\frac{36}{25}$秒時(shí)，h的值最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．