Question

20．如圖，一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+6的圖象分別與y軸、x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若某一時(shí)刻，△OPA的面積為12，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，設(shè)點(diǎn)Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PQ+BQ的值最小時(shí)，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△AOP為等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）可求得A、B的坐標(biāo)，求得AB的長(zhǎng)，可求得AB邊上的高，用t表示出AP的長(zhǎng)，利用面積可求得t的值，過(guò)P分別作x軸和y軸的垂線(xiàn)，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）可先求得B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)，連接PB′，交y軸于點(diǎn)Q，再求得走紅PB′的解析式，可求得滿(mǎn)足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）可用t表示出BP、AP的長(zhǎng)，分AP=AO、AP=OP和OP=AO三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+6令x=0，可得y=6，令y=0，可得x=8，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∴AB邊上的高為$\frac{24}{5}$，
∵P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴BP=t，則AP=10-t，
當(dāng)△AOP面積為12時(shí)，則有$\frac{1}{2}$AP×$\frac{24}{5}$=12，即$\frac{1}{2}$（10-t）×$\frac{24}{5}$=12，解得t=5，
即當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，
如圖1，過(guò)P作PE⊥x軸，PF⊥y軸，垂足分別為E、F，

則PF=$\frac{1}{2}$OB=4，PE=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴P（4，3）；
（2）由B（8，0）可知其關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′（-8，0），
連接PB′交y軸于點(diǎn)Q，如圖2，

則B′Q=BQ，
∴PQ+BQ最小，
設(shè)直線(xiàn)PB′的解析式為y=kx+b，
把P、B′點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-8k+b}\\{3=4k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)PB′的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+2，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；
（3）由題意可知BP=t，AP=10-t，
當(dāng)△AOP為等腰三角形時(shí)，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三種情況．
①當(dāng)AP=AO時(shí)，則有10-t=6，可解得t=4；
②當(dāng)AP=OP時(shí)，過(guò)P作PM⊥AO，垂足為M，如圖3，

則M為AO中點(diǎn)，故P為AB中點(diǎn)，此時(shí)t=5；
③當(dāng)AO=OP時(shí)，過(guò)O作ON⊥AB，垂足為N，過(guò)P作PH⊥OB，垂足為H，如圖4，

則AN=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（10-t），
∵PH∥AO，
∴△AOB∽△PHB，
∴$\frac{PB}{PH}$=$\frac{AB}{AO}$，即$\frac{t}{PH}$=$\frac{10}{6}$
∴PH=$\frac{3}{5}$t，
又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°，
∴∠AON=∠PBH，且∠ANO=∠PHB，
∴△ANO∽△PHB，
∴$\frac{PB}{AO}$=$\frac{PH}{AN}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{\frac{3}{5}t}{\frac{1}{2}（10-t）}$，可解得t=$\frac{14}{5}$；
綜上可知當(dāng)t的值為4、5和$\frac{14}{5}$時(shí)，△AOP為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)等．在（1）中求得t的值是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中分三種情況討論，其中AO=AP時(shí)求得t的值是解題的難點(diǎn)．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但所考查知識(shí)比較基礎(chǔ)，難度適中．