Question

7．如圖，在正方形ABCD中，點P是AB邊上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD相交于點O，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F，交AD、BC于點M、N．下列結(jié)論：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF．其中正確的結(jié)論有3個．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的每一條對角線平分一組對角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角邊角”證明△APE和△AME全等；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AP=AM，從而判斷出△APM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得PM=$\sqrt{2}$AP，同理可得PN=$\sqrt{2}$PB，然后求出PM+PN=$\sqrt{2}$AB，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC=$\sqrt{2}$AB，從而得到PM+PN=AC；判斷出四邊形PEOF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得PF=OE，再利用勾股定理即可得到PE²+PF²=PO²；判斷出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，從而確定出兩三角形不一定相似．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，∠PAE=∠MAE=45°，
在△APE和△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠MAE}\\{AE=AE}\\{∠AEP=∠AEM=90°}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△AME（ASA），故①正確；
（2）∴AP=AM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴PM=$\sqrt{2}$AP，
同理可得PN=$\sqrt{2}$PB，
∴PM+PN=$\sqrt{2}$AB，
又∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴PM+PN=AC，故②正確；
（3）∵PM⊥AC，PN⊥BD，AC⊥BD，
∴四邊形PEOF是矩形，
∴PF=OE，
在Rt△POE中，PE²+OE²=PO²，
∴PE²+PF²=PO²，故③正確；
（4）∵矩形PEOF不一定是正方形，
∴△POF不一定等腰直角三角形，
∵∠OBC=45°，BF⊥FN，
∴△BNF是等腰直角三角形，
∴△POF與△BNF相似不一定成立，故④錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③共3個．
故答案為：3．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．