Question

13．基本模型：如圖1，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE∽△BCF．
（1）模型拓展：如圖2，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC，求證：△AFE∽△BCF；
（2）拓展應(yīng)用：如圖3，AB是半圓⊙O的直徑，弦長AC=BC=4$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是AC，AB上的一點(diǎn)，若∠CFE=45°．若設(shè)AE=y，BF=x，求出y與x的函數(shù)關(guān)系及y的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知得出∠E=∠CFB，進(jìn)而利用相似三角形的判定方法得出即可；
（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，由相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可得到y(tǒng)和x的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）證明：∵∠A=∠EFC，
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，
∴∠E=∠CFB，
∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BCF；
（2）解：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=8，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A=∠B=∠CFE=45°，
由（1）可得△AFE∽△BCF，
∴AE：BF=AF：BC，
即$\frac{y}{x}=\frac{8-x}{4\sqrt{2}}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{2}}{8}$x²+$\sqrt{2}$x（0≤x≤8），
∴當(dāng)x=4時，y_最大=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理以及二次函數(shù)最值等知識，根據(jù)題意熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．