Question

3．如圖，AD為銳角△ABC的高線（AC＞AB），H為線段AD上一點，連結(jié)BH，CH并延長分別交三角形的邊于點E，F(xiàn)，且∠ABE=∠ACF，求證：H為△ABC的垂心．

Answer 1

分析 分兩種情況討論，第一種情況用反證法得出AB=AC和已知條件矛盾，第二種情況直接用相似得出結(jié)論了．

解答 解：如圖，

在AD或其延長線上取一點G，使AH•AG=AF•AB=AE•AC，連接BG，CG；
（1）如果G，D不重合，
∴△AHF∽△ABG，△AHE∽△ACG，
∵∠AFH=∠AGB，∠AEH=∠AGC，
又∵B，C，E，F(xiàn)四點共圓，
∴∠BFC=∠CEB，
∴∠AFH=∠AEH，∠AGB=∠AGC，
∵DG=DG
∴Rt△BDG≌Rt△CDG，
∴BD=DC這與AB≠AC矛盾．
（2）如果G，D重合，
∴△AHF∽△ABD，
∴∠AFH=∠ADB=90°，
∴CF⊥AB，
即：H為△ABC的垂心．
因此，H必為△ABC的垂心．

點評 此題是三角形的五心，主要考查了反證法和分類討論的思想，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，是一道難度比較大的競賽題．