Question

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點P在以C為圓心，5為半徑的圓上，連結PA，PB．若PB=4，則PA的長為3或$\sqrt{73}$．

Answer 1

分析 連結CP，PB的延長線交⊙C于P′，如圖，先計算出CB²+PB²=CP²，則根據勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根據垂徑定理得到PB=P′B=4，接著證明四邊形ACBP為矩形，則PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理計算出P′A=$\sqrt{73}$，從而得到滿足條件的PA的長為3或$\sqrt{73}$．

解答 解：連結CP，PB的延長線交⊙C于P′，如圖，
∵CP=5，CB=3，PB=4，
∴CB²+PB²=CP²，
∴△CPB為直角三角形，∠CBP=90°，
∴CB⊥PB，
∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，
∴PB∥AC，
而PB=AC=4，
∴四邊形ACBP為矩形，
∴PA=BC=3，
在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，
∴P′A=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$，
∴PA的長為3或$\sqrt{73}$．
故答案為3或$\sqrt{73}$．

點評 本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系．也考查了垂徑定理和勾股定理．