Question

5．如圖，拋物線y=x²與直線y=2x在第一象限內(nèi)有一交點A．
（1）你能求出點A的坐標嗎？
（2）在x軸上是否存在一點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=2x}\end{array}\right.$可得到A點坐標；
（2）需要分類討論：AP=AO、OA=OP、AP=OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)來求點P的坐標．

解答 解：（1）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
所以A點坐標為（2，4）；

（2）①當(dāng)AP=AO時，作AB⊥x軸于B點，如圖1，
當(dāng)PB=OB時，△AOP是以O(shè)P為底的等腰三角形，
而A（2，4），
所以P點坐標為（4，0）．
②當(dāng)OA=OP時，∵A（2，4），
∴OA=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
則P（±2$\sqrt{5}$，0）；
③當(dāng)AP=OP時，如圖2，過點P作PQ⊥AO于點Q．
設(shè)P（t，0）．
則Q（1，2）．
故$\frac{1}{2}$OA•PQ=$\frac{1}{2}$OP×4，即$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$\sqrt{（1-t）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{1}{2}$t×4，
解得t=5，
即（5，0）．
綜上所述，符合條件的點P的坐標是（4，0）或（2$\sqrt{5}$，0）或（-2$\sqrt{5}$，0）或（5，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，同時在兩個函數(shù)解析式上，應(yīng)是這兩個函數(shù)解析式的公共解．答案較多時，應(yīng)有規(guī)律的去找不同的解是解題關(guān)鍵．