Question

10．在△ABC中，AC=BC，D是邊AB上一點，E是線段CD上一點，且∠AED=∠ACB=2∠BED．
（1）如圖1，若∠BED=45°，AD=2，求線段BD的長度；
（2）如圖1，若∠ACB=90°，求證：AE=$\sqrt{2}$BE；
（3）如圖2，若∠ACB=60°，猜想AE與BE的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）作BM⊥CD于M，證得△ACE≌△CBM，得出CE=BM，AE=CM，進一步證得△BME是等腰直角三角形，進而得到BM=$\frac{1}{2}$AE，根據△ADE∽△BDM，即可得到BD=$\frac{1}{2}$AD=1；
（2）作BM⊥CD于M，證得△ACE≌△CBM，得出CE=BM，AE=CM，進一步證得△BME是等腰直角三角形，解直角三角形得出BM=EM，BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，CE=EM，進一步證得AE=2BM=$\sqrt{2}$BE；
（3）在CD上截取CF=AE，證得△ACE≌△CBF，得出CE=BF，AE=CM，進一步證得△BFE是等腰三角形，解直角三角形得出$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF，進一步證得BE=$\sqrt{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE．

解答 解：（1）作BM⊥CD，交CD的延長線于M，如圖①，
由∠BED=45°，可得∠AED=∠ACB=2∠BED=90°，
∴∠CAE=∠BCM，∠AEC=∠CMB=90°，
在△ACE和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠CMB}\\{∠CAF=∠BCM}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBM（AAS），
∴CE=BM，AE=CM，
又∵∠BED=45°，∠BME=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴ME=BM=CE=$\frac{1}{2}$CM，
∴BM=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$AE，
由∠AED=∠BMD=90°，∠ADE=∠BDM，可得△ADE∽△BDM，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BM}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
即BD=$\frac{1}{2}$AD=1；

（2）作BM⊥CD于M，如圖①，
∴∠BCM+∠MBC=90°，
∵∠ACB=90°，∠AED=∠ACB，
∴∠ACE+∠BCM=90°，∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠MBC，
在△ACE和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠MBC}\\{∠AEC=∠CMB=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBM（AAS），
∴CE=BM，AE=CM，
∵∠AED=∠ACB=2∠BED=90°，
∴∠DEB=45°，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BM=EM，BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，
∴CE=BM=EM，
∴CM=2BM，
∴AE=2BM，
∴AE=$\sqrt{2}$BE；

（3）BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE．
證明：在CD上截取CF=AE，如圖②，
∵∠AED=∠ACB=2∠BED，∠ACB=60°，
∴∠AED=60°，∠BED=30°，
∴∠EAC+∠ACD=60°，∠ACD+∠BCF=60°，
∴∠EAC=∠FCB，
在△ACE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠EAC=∠FCB}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBF（SAS），
∴CE=BF，AE=CF，∠AEC=∠CFB，
∴∠BFD=∠AED=60°，
∴∠EBF=30°，
∴EF=BF，
∴CF=2BF，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE，
∵$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BF，
∴BE=$\sqrt{3}$BF，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質的綜合應用，作出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．解題時注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一等．