Question

2．已知：關(guān)于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0．
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）若m為正整數(shù)，且關(guān)于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，把拋物線(xiàn)y=mx²-（3m-2）x+2m-2向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的拋物線(xiàn)C的解析式．
（3）記拋物線(xiàn)C與x軸兩個(gè)交點(diǎn)中靠右側(cè)的點(diǎn)為B，與y軸交點(diǎn)記作A，記拋物線(xiàn)在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點(diǎn)），點(diǎn)P（a，b）為G上一動(dòng)點(diǎn)，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且根的判別式大于0，求出m的范圍即可；
（2）因?yàn)閤=1是整數(shù)，所以只需$\frac{2m-2}{m}$是整數(shù)，即可求出m的值，得出拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-x，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得出所求的解析式y(tǒng)=（x-2）²-（x-2）．
（3）求出拋物線(xiàn)與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，知圖象G的自變量取值范圍，由a+b與x的函數(shù)關(guān)系，在圖象G的自變量取值范圍內(nèi)確定最大值和最小值．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程mx²-（3m-2）x+2m-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴m≠0且△=（3m-2）²-4m（2m-2）=（m-2）²＞0，
則m的范圍為m≠0且m≠2．
（2）∵x=1是整數(shù)，
∴只需$\frac{2m-2}{m}$=2-$\frac{2}{m}$是整數(shù)．
∵m是正整數(shù)，且m≠0，m≠2，
∴m=1，
當(dāng)m=1時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式為y=x²-x，
把它的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，即y=（x-2）²-（x-2），
∴y=x²-5x+6．
（3）y=x²-5x+6與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），（3，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
∴A（0，6），B（3，0）
∵拋物線(xiàn)C與x軸兩個(gè)交點(diǎn)中靠右側(cè)的點(diǎn)為B，與y軸交點(diǎn)記作A，記拋物線(xiàn)在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點(diǎn)），
∴圖象G的自變量取值范圍為：0≤x≤3，
∵點(diǎn)P（a，b）為G上一動(dòng)點(diǎn)，
∴a+b=x+x²-5x+6=x²-4x+6=（x-2）²+2，
當(dāng)x=2時(shí)，a+b的最小值為2，
當(dāng)x=0時(shí)，a+b的最大值為6，
∴a+b的取值范圍為：2≤a+b≤6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系，平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握．