Question

9．已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B，C重合），經(jīng)過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP（如圖①）經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ（如圖②），當(dāng)點C′恰好落在OA上時，點P的坐標(biāo)是$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$或 $\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)PB=B′P=x，則DE=ED′=15-x，只要證明PC=PC′=11-x，在Rt△OB′C′中，根據(jù)OC′²=OB′²+B′C′²，列出方程即可解決問題．

解答 解：∵把△OPB沿OP折疊，使點C落在點C′處，
∴BP=PB′，OB=OB′=6，∠A=∠OB′P=90°，
∵把△CPQ沿PQ折疊，使點D落在直線OA上的點C′處，
∴CP=C′P，CQ=C′Q，∠PC′Q=∠C=90°，
設(shè)BP=B′P=x，則PC=PC′=11-x，
∵BC∥AC，
∴∠1=∠EPOA，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠C′OP，
∴OC′=PC′=11-x，
∴B′C′=11-2x，
在Rt△OB′C′中，
∵OC′²=OB′²+B′C′²，
∴6²+（11-2x）²=（11-x）²，
解得x=$\frac{11±\sqrt{13}}{3}$，
∴AE=$\frac{11+\sqrt{13}}{3}$或 $\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．
故答案為 $\frac{11+\sqrt{13}}{3}$或 $\frac{11-\sqrt{13}}{3}$．

點評 本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．