Question

17．如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+bx+2與x軸交于A、B兩點，與直線y=2x交于點M（1，m）．
（1）求m，b的值；
（2）已知點N，點M關(guān)于原點O對稱，現(xiàn)將線段MN沿y軸向上平移s（s＞0）個單位長度．若線段MN與拋物線有兩個不同的公共點，試求s的取值范圍；
（3）利用尺規(guī)作圖，在該拋物線上作出點G，使得∠AGO=∠BGO，并簡要說明理由．（保留作圖痕跡）

Answer 1

分析 （1）把點M的坐標(biāo)先代入直線方程求得m的值；然后把點M的坐標(biāo)（1，2）代入拋物線方程來求b的值；
（2）由對稱的性質(zhì)得到N（-1，-2），根據(jù)點到坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)求得s=2設(shè)平移后的直線表達(dá)式為y=2x+s，所以設(shè)平移后的直線表達(dá)式為y=2x+s，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根的判別式的符號來求s的取值范圍；
（3）在x軸上取一點P（-2，0），以P為圓心，OP為半徑作圓，⊙P與拋物線的交點，即是所求作的點G（圖中的G與G′）．當(dāng)點G在x軸上方時，利用兩邊及夾角法推知△GPA∽△BPG．故∠PGA=∠PBG，結(jié)合等邊對等角得到：∠POG=∠PGO．又由圖中角與角間的和差關(guān)系推知：∠POG=∠PBG+∠OGB，∠PGO=∠PGA+∠AGO，即∠AGO=∠BGO．同理可證：當(dāng)點G（G′）在x軸下方時，結(jié)論也成立．

解答 解：（1）把M（1，m）代入y=2x得m=2×1=2．
把M（1，2）代入y=-x²+bx+2得2=-1²+b+2，即b=1．

（2）由（1）得y=-x²+x+2，M（1，2）
因為點N，點M關(guān)于原點O對稱，所以N（-1，-2）
過點N作CN⊥x軸，交拋物線于C，則C的橫坐標(biāo)為-1．
所以C的縱坐標(biāo)為-（-1）²+（-1）+2=0．
所以C（-1，0）與A重合．
則CN=AN=2，即當(dāng)s=2線段MN與拋物線有兩個公共點．
設(shè)平移后的直線表達(dá)式為y=2x+s
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+s\\ y=-{x^2}+x+2\end{array}\right.$得x²+x+s-2=0．
由△=1²-4（s-2）=0，得$s=\frac{9}{4}$．
即當(dāng)$s=\frac{9}{4}$，線段MN與拋物線只有一個公共點．
所以，當(dāng)線段MN與拋物線有兩個公共點時．s取值范圍為$2≤s＜\frac{9}{4}$．

（3）如圖，在x軸上取一點P（-2，0），以P為圓心，OP為半徑作圓，⊙P與拋物線的交點，即是所求作的點G（圖中的G與G′）．
理由：
當(dāng)點G在x軸上方時，由作圖可知，
PG=2，PA=1，PB=4．則$\frac{PA}{PG}=\frac{PG}{PB}=\frac{1}{2}$．
又∵∠GPA=∠BPG，
∴△GPA∽△BPG．
∴∠PGA=∠PBG，
∵GP=PB=2，
∴∠POG=∠PGO．
又∠POG=∠PBG+∠OGB，∠PGO=∠PGA+∠AGO，
∴∠AGO=∠BGO．
同理可證：當(dāng)點G（G′）在x軸下方時，結(jié)論也成立．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解題時涉及到了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的幾何變換以及直線與拋物線的交點問題，綜合性比較強，難度較大．