Question

17．在?ABOC中，AO⊥BO，且AO=BO．以AO、BO所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系，已知B（-6，0），直線y=3x+b過點C且與x軸交于點D．
（1）求點C、D的坐標；
（2）點E為y軸正半軸上一點，當∠BED=45°時，求直線EC的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線EC與x軸交于點F，ED與AC交于點G．點P從點O出發(fā)沿折線OF-EF運動，在OF上的速度是每秒2個單位．在運動過程中直線PA交BE于H，設(shè)運動時間為t．當以△EHA與△EGC相似時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)求出點C的坐標，把C的坐標代入y=3x+b，可求出直線CD的解析式，從而求出D的坐標；
（2）作AM⊥OC于M，連接DM并延長交y軸于E，先求得M為等腰直角三角形OAC的中點，得到M的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線DM的解析式，求得與y軸的交點坐標，然后證得△BAE∽△EAM，得出∠ABE=∠AEM，進而求得∠BED=45°，所以直線與y軸的交點即為E點，再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線EC的解析式；
（3）分兩種情況：①P在OF上運動，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA與△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可，當∠HAE=45°時，由∠OAP=∠HAE=45°，得到△AOP為等腰直角三角形，從而求出t的值；
②P在EF上運動，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA與△EGC相似，只要∠AHE=∠GCE=45°即可，當∠AHE=45°時，記HP與ED的交點為I，由∠HEI=45°，得到∠HIE=90°，故AP⊥ED，求出直線AP的解析式，再求出直線AP與EF得交點P的坐標，用兩點間的距離公式算出EP的長，從而得出PF的長，分別算出P在OF上運動的時間與P在FE上運動的時間，兩者相加，得到t的值．I是HP與ED的交點

解答 解：（1）∵B（-6，0），
∴OB=6，
∵AO=BO，
∴AO=6，
∵四邊形ABOC是平行四邊形，
∴AC=BO=6，
∴C（6，6），
∵直線y=3x+b過點C，
∴6=3×6+b
∴b=-12，
∴直線CD的解析式為：y=3x-12，在y=3x-12中，令y=0，
解得：x=4，
∴D（4，0）；

（2）作AM⊥OC于M，連接DM并延長交y軸于E．
∵AO=AC=6，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴OM=CM，∠CAM=45°，
∴∠EAM=135°
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
∴∠BAE=135°，
∴∠EAB=∠MAE，
∵C（6，6），
∴M（3，3），
設(shè)直線MD為y=kx+b，
∵D（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=12}\end{array}\right.$．
∴直線ED的解析式為：y=-3x+12，
∴E（0，12），
∴OE=12，
∵OA=6，
∴AE=6，
∵AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，AM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\sqrt{2}$，$\frac{AE}{AM}$=$\sqrt{2}$，
∴△BAE∽△EAM，
∴∠ABE=∠AEM，
∵∠ABE+∠AEB=∠BAO=45°，
∴∠AEB+∠AEM=45°，
∴∠BED=45°
∴當∠BED=45°時，E（0，12）
設(shè)直線EC的解析式為y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{n=12}\\{6m+n=6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=12}\end{array}\right.$，
∴直線EC的解析式為：y=-x+12；

（3）分兩種情況：①當P在OF上運動時，
∵直線EC的解析式為：y=-x+12，令y=0，得：x=12，
∴OF=OE=12，∴∠OFE=45°，
∵AC∥OB，
∴∠ACE=∠OFE=45°，
∴∠CEG+∠AEG=45°，
∵∠BED=45°，
∴∠HEA=∠GEC，
要使△EHA與△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可．當∠HAE=45°時，∠OAP=∠HAE=45°，
∴△AOP為等腰直角三角形，
∴OP=OA=6，
即t=6÷2=3；
②當P在EF上運動時，記HP與ED的交點為I，
由①可知，△EHA與△EGC中，∠HEA=∠GEC，∠GCE=45°，
∴只需要∠EHA=45°即可．當∠EHA=45°時，
∵∠HEI=45°，
∴∠HIE=90°，
∵AP⊥ED，
∴直線AP的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x+n，
把A（0，6）代入，得：n=6，
∴直線AP的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x+6，
聯(lián)立方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+6}\\{y=-x+12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4.5}\\{y=7.5}\end{array}\right.$，
∴P（4，5，7.5），
∴EP=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∵EF=$\sqrt{2}$OE=12$\sqrt{2}$，
∴FP=12$\sqrt{2}$-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
∴點P從O到P所用的時間t=（12+$\frac{15\sqrt{2}}{2}$）÷2=6+$\frac{15\sqrt{2}}{4}$

點評 本題考查了相似形綜合題，用到的知識點有相似三角形的判斷和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)，題目的綜合性較強難度較大，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的數(shù)學思想．