Question

8．如圖1，將兩個等腰直角三角形紙片ABC和DEC的頂點C重合放置，點D和E分別在邊AC和BC上，其中∠C=90°，AC=BC，DC=EC．
操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°，點D恰好落在AB邊上，填空：
①線段DE與AC的位置關系是平行；
②設△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關系是相等．

Answer 1

分析 ①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠EDC=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACD=45°，于是可根據(jù)平行線的判定定理得到DE∥AC；
②DE交BC于F，如圖2，設AC=BC=a，DC=EC=b，由DE∥AC得到∠DFC=∠ACB=90°，則可判斷△DFC為等腰直角三角形，所以DF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，然后根據(jù)三角形面積公式計算出S₁=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab，從而得到
S₁=S₂．

解答 解：①∵△DEC為等腰直角三角形，
∴∠EDC=45°，
∵固定△ABC，使△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°，點D恰好落在AB邊上，如圖2，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠EDC，
∴DE∥AC；
②DE交BC于F，如圖2，
設AC=BC=a，DC=EC=b，
∵DE∥AC，
∴∠DFC=∠ACB=90°，
∵∠FDC=45°，
∴△DFC為等腰直角三角形，
∴DF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
∴S₁=$\frac{1}{2}$BC•DF=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab，S₂=$\frac{1}{2}$AC•CF=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab，
∴S₁=S₂．
故答案為平行，相等．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形．