Question

18．如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且S_△AOP=4S_△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖b，設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，作DQ⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，求線段DQ長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得系數(shù)的值；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x²-2x+3），根據(jù)S_△AOP=4S_△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²+2x-3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值．

解答 解：（1）把A（-3，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=-9-3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故該拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3．


（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=-x²-2x+3，則易得B（1，0）．
∵S_△AOP=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|-x²-2x+3|=4×$\frac{1}{2}$×1×3．
整理，得（x+1）²=0或x²+2x-7=0，
解得x=-1或x=-1±2$\sqrt{2}$．
則符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-1，4）或（-1+2$\sqrt{2}$，-4）或（-1-2$\sqrt{2}$，-4）；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A（-3，0），C（0，3）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+t=0}\\{t=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=3}\end{array}\right.$．
即直線AC的解析式為y=x+3．
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），（-3≤x≤0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x²-2x+3），
QD=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，QD有最大值$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長(zhǎng)度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．