Question

8．（1）如圖1，點P為△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點，求證：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）如圖2，點P為△ABC內(nèi)角平分線BP與外角平分線CP的交點，請直接寫出∠BPC與∠A的關(guān)系；
（3）如圖3，點P是△ABC的外角平分線BP與CP的交點，請直接∠BPC與∠A的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．
（2）根據(jù)角平分線的定義得∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，所以$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠PBC+∠P=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠P，然后整理可得∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）根據(jù)題意得∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），由三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，求得∠P與∠A的關(guān)系，從而計算出∠P的度數(shù)．

解答 證明：（1）∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，
∵∠BPC=120°，
∴∠ABC+∠ACB=60°，
∵BP、CP是角平分線，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∠P=$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵△ABC的內(nèi)角平分線BP與外角平分線CP交于P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=∠PBC+∠P=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠P，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵BP、CP是△ABC的外角平分線，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-$\frac{1}{2}$（180+∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

點評 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)由三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，求得∠P與∠A的關(guān)系．