Question

19．如圖，在△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，D是$\widehat{AC}$上的點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作⊙O的切線與AC的延長線交于點(diǎn)F，已知AB=5，sin∠CAB=$\frac{3}{5}$．
（1）求CF的長；
（2）若CE=$\frac{9}{4}$，求證：AD∥OC；
（3）在滿足（2）的條件下，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ACB=90°，再在Rt△ACB中利用正弦定義可計(jì)算出BC=3，則利用勾股定理看到計(jì)算出AC=4，所以cos∠3=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABF=90°，然后在Rt△ABF中利用余弦定理計(jì)算出AF=$\frac{25}{4}$，再利用CF=AF-AC進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先由CE=CF=$\frac{9}{4}$，BC⊥EF可判斷△BEF為等腰三角形，則∠1=∠2，再證明∠4=∠5，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得AD∥OC；
（3）證明Rt△ADE∽R(shí)t△ACD，然后利用相似比可計(jì)算出AD．

解答 （1）解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵sin∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，AB=5，
∴BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4，
∴cos∠3=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵BF為⊙O的切線，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
在Rt△ABF中，∵cos∠3=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{4}{5}$，
∴AF=$\frac{5}{4}$×5=$\frac{25}{4}$，
∴CF=AF-AC=$\frac{25}{4}$-4=$\frac{9}{4}$；
（2）證明：∵CE=CF=$\frac{9}{4}$，
而BC⊥EF，
∴△BEF為等腰三角形，
∴∠1=∠2，
而∠2+∠F=90°，∠3+∠F=90°，
∴∠2=∠3，
而∠1=∠4，
∴∠3=∠4，
∵OA=OC，
∴∠3=∠5，
∴∠4=∠5，
∴AD∥OC；
（3）解：AE=AC-CE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
而∠3=∠4，
∴Rt△ADE∽R(shí)t△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{AD}{4}$=$\frac{\frac{7}{4}}{5}$，
∴AD=$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．