Question

20．如圖，△ABC和△AED是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點D、E在∠BAC的外部，連結(jié)DC，BE．
（1）求證：BE=CD；
（2）若將△AED繞點A旋轉(zhuǎn)，直線CD交直線AB于點G，交直線BE于點K．
①如果AC=8，GA=2，求GC•KG的值；
②當(dāng)△BED為等腰直角三角形時，請你直接寫出AB：BD的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠BAC=∠EAD=90°，得出∠CAD=∠BAE，在△BAE和△CAD中，根據(jù)SAS得出△BAE≌△CAD，即可證出BE=CD；
（2）①當(dāng)點G在線段AB上時，根據(jù)（1）和AA得出△CGA∽△BGK，求出AG•GB=GC•KG，再根據(jù)AC=8，GA=2，得出GC•KG=12；當(dāng)點G在線段AB延長線上時，再根據(jù)已知條件求出△CGA∽△BGK，得出AG•GB=GC•KG，再根據(jù)AC=8，GA=2，得出GC•KG=20；
②根據(jù)△BED為等腰直角三角形時，∠ADB=45°，得出AB：BD=tan45°，再計算即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠EAD=90°
∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，
∴∠CAD=∠BAE，
在△BAE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD；

（2）①當(dāng)點G在線段AB上時（如圖1）
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠CGA=∠BGK，
∴△CGA∽△BGK，
∴$\frac{AG}{KG}$=$\frac{GC}{GB}$，
∴AG•GB=GC•KG，
∵AC=8，
∴AB=8，
∵GA=2，
∴GB=6．
∴GC•KG=12，
當(dāng)點G在線段AB延長線上時（如圖2）
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠BGK=∠CGA，
∴△CGA∽△BGK，
∴$\frac{AG}{KG}$=$\frac{GC}{GB}$，
∴AG•GB=GC•KG；
∵AC=8，
∴AB=8，
∵GA=2，
∴GB=10
∴GC•KG=20；
②如圖3，
當(dāng)△BED為等腰直角三角形時，
則∠ADB=45°，
AB：BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，題目的綜合性很強，難度不小，對學(xué)生的解題能力要求很高．