Question

5．圖1、圖2中，點B為線段AE上一點，△ABC與△BED都是等邊三角形．
（1）如圖1，求證：AD=CE；
（2）如圖2，設(shè)CE與AD交于點F，連接BF．
①求證：∠CFA=60°；
②求證：CF+BF=AF．

Answer 1

分析 （1）如圖1，利用等邊三角形性質(zhì)得：BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，再證∠ABD=∠CBE，根據(jù)SAS證明△ABD≌△CBE得出結(jié)論；
（2）①如圖2，利用（1）中的全等得：∠BCE=∠DAB，根據(jù)兩次運用外角定理可得結(jié)論；
②如圖3，作輔助線，截取FG=CF，連接CG，證明△CFG是等邊三角形，并證明△ACG≌△BCF，由線段的和得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，∵△ABC與△BED都是等邊三角形，
∴BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，
（2）①如圖2，由（1）得：△ABD≌△CBE，
∴∠BCE=∠DAB，
∵∠ABC=∠BCE+∠CEB=60°，
∴∠ABC=∠DAB+∠CEB=60°，
∵∠CFA=∠DAB+∠CEB，
∴∠CFA=60°，
②如圖3，在AF上取一點G，使FG=CF，連接CG，
∵∠AFC=60°，
∴△CGF是等邊三角形，
∴∠GCF=60°，CG=CF，
∴∠GCB+∠BCE=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACG+∠GCB=60°，
∴∠ACG=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACG≌△BCF，
∴AG=BF，
∵AF=AG+GF，
∴AF=BF+CF．

點評 本題是三角形的綜合題，難度不大，考查了等邊三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握等邊三角形的各邊相等，且各角都是60°，在三角形中常利用外角定理得出角的大小關(guān)系，因此要熟練掌握；線段的和的證明常作輔助線幫助解決，輔助線的作法有兩種：①在長邊上截取短邊的長，②延長短邊等于長邊．