Question

10．有一列數(shù)，第一個(gè)記作a₁，第二個(gè)記作a₂，…，第n個(gè)記作a_n，若a_n+1（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1，當(dāng)a₁=1時(shí)，求a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a₂₀₁₅a₂₀₁₆的值．

Answer 1

分析 已知等式整理得到關(guān)系式，把原式變形即可求出值．

解答 解：已知等式整理得：a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₂=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{4}$，…，a_n=$\frac{1}{n}$，
則原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．