Question

9．如圖，AD為⊙O的直徑，CD為弦，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，連接OB．
（1）求證：OB∥CD；
（2）若AB=15，CD=7，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，得到∠BOA=$\frac{1}{2}∠$AOC，由圓周角定理得到$∠D=\frac{1}{2}∠$AOC，得到∠AOB=∠D，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連接AC交OB于M，由AD為⊙O的直徑，得到∠ACD=90°，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{7}{2}$，然后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OC，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠BOA=$\frac{1}{2}∠$AOC，
∵$∠D=\frac{1}{2}∠$AOC，
∴∠AOB=∠D，
∴OB∥CD；

（2）連接AC交OB于M，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∵OB∥CD，∴∠AMO=90°，
∴AM=CM，
∵OA=OC，
∴OM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{7}{2}$，
∵AB=15，
設(shè)OA=OB=r，
∴AB²-BM²=AM²=OA²-OM²，
即15²-（r-$\frac{7}{2}$）²=r²-（$\frac{7}{2}$）²，
∴r=12.5，
∴⊙O的半徑是12.5．

點評 本題考查了圓周角，弧，弦的關(guān)系，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．