Question

7．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連結(jié)CE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，如果∠BAC=90°，則∠BCE=90°°．
（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動時，α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動時，α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你在備用圖上畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先用等式的性質(zhì)得出∠CAE=∠BAD，進(jìn)而得出△ABD≌△ACE，有∠B=∠ACE，最后用等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）①由（1）的結(jié)論即可得出α+β=180°；
②同（1）的方法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC；
∴∠CAE=∠BAD；
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°-∠BAC=90°；
故答案為90°；
（2）①由（1）中可知β=180°-α，
∴α、β存在的數(shù)量關(guān)系為α+β=180°；
②當(dāng)點(diǎn)D在射線BC上時，如圖1，

同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠ABD=∠ACE，
∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°-∠BAC=180°-α，
∴α+β=180°；
當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長線上時，如圖2，

同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠ABD=∠ACE，
∴β=∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠ABD-∠ACB=∠BAC=α，
∴α=β．

點(diǎn)評 此題是作圖---復(fù)雜作圖，主要考查了等式的性質(zhì)，全等三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出△ABD≌△ACE．