Question

5．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），交于點(diǎn)C（0，-3），設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D，連接AC．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使△PAC的周長最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使S_△MAC=2S_△BCD？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，則可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）．由與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），則代入易得解析式，頂點(diǎn)易知．
（2）根據(jù)對(duì)稱性判斷出點(diǎn)P就是直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，再代入直線BC解析式中，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）先求出△BCD的面積，根據(jù)條件得出△MAC的面積，再作出平行線和垂直，利用同底等高的三角形面積相等和解方程組即可．

解答 解：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
∵拋物線過點(diǎn)（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）．
（2）連接BC，與對(duì)稱軸交于P點(diǎn)，
∵點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
所以直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC解析式為y=x-3，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
∴x=1時(shí)，y=-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），
（3）如圖，

∵D（1，-4），P（1，-2），
∴PD=2，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴S_△BCD=S_△BDP+S_△CDP=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×1=3，
∴S_△MAC=2S_△BCD=2×3=6，
過點(diǎn)B作BN⊥AC
在Rt△AOC中，tan∠BAC=$\frac{OC}{OA}$=3，
在Rt△ABN中，tan∠BAC=$\frac{BN}{AN}$=3，
∴BN=3AN，
∵AB=4，
根據(jù)勾股定理得，BN²+AN²=16，
∴BN=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$=h，
∴點(diǎn)M在過點(diǎn)B平行于AC的直線上或在過點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B'且平行于AC的直線上，
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴直線AC解析式為y=-3x-3，
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)M在過點(diǎn)B平行于AC的直線上，
∵B（3，0），
∴直線BM解析式為y=-3x+9①，
∵點(diǎn)M在拋物線y=x²-2x-3②上，
聯(lián)立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=21}\end{array}\right.$，
∴M（3，0）或（-4，21）；
Ⅱ、點(diǎn)M在過點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B'且平行于AC的直線上，
∵B'（-5，0），
∴直線B'M的解析式為y=-3x-15③
聯(lián)立②③得，x²+x+12=0，
此方程無解
∴M（3，0）或（-4，21）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，對(duì)稱性的特點(diǎn)，三角形面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是充分利用兩直線垂直或平行來求解．