Question

6．如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD于O，點E，F(xiàn)，G，H分別為AD，AB，BC，CD的中點．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）若AC=BD，求證：四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 （1）易證四邊形EFGH是平行四邊形，再證明有一個角為直角即可證明四邊形EFGH是矩形；
（2）由（1）可知EFGH是矩形，再證明其鄰邊相等即可得到四邊形EFGH是正方形．

解答 證明：（1）∵點E，F(xiàn)，G，H分別為AD，AB，BC，CD的中點，
∴EF，GH分別是△ABD和△CBD的中位線，
∴EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，GH∥BD，GH=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴∠GFE=90°，
∴四邊形EFGH是矩形；
（2）∵AC=BD，
∴EF=FG，
又∵四邊形EFGH是矩形，
∴四邊形EFGH是正方形．

點評 此題考查了中點四邊形的性質．學生靈活運用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及矩形、正方形的判斷進行證明，是一道綜合題．