Question

16．如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸相交于A、B兩點，點B的坐標為（3，0），與y軸相交于點C（0，-3），頂點為D．
（1）求出拋物線y=x²+bx+c的表達式；
（2）連結BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m．
①當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形．
②設四邊形OBFC的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由B、C兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的表達式；
（2）①可求得直線BC的解析式，則可表示出P、F的坐標，從而可表示出PF和DE的長，由平行四邊形的性質可知PF=DE，則可得到關于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出PF的長，則可表示出△BCF的面積，從而可表示出四邊形OBFC的面積，利用二次函數的性質可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵拋物線過B、C兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線表達式為y=x²-2x-3；

（2）①∵B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC解析式為y=x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），
∴E（1，-2），
∴DE=-2-（-4）=2，
∵PF∥DE，且P（m，m-3），
∴F（m，m²-2m-3），
∵點P為線段BC上的一個動點，
∴PF=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m，
當四邊形PEDF為平行四邊形時，則有PF=DE=2，
即-m²+3m=2，解得m=1（舍去）或m=2，
∴當m的值為2時，四邊形PEDF為平行四邊形；

②由①可知PF=-m²+3m，
∴S_△FBC=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，
∴S=S_△FBC+S_△OBC=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$+$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當m=$\frac{3}{2}$時，S有最大值$\frac{63}{8}$．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、平行四邊形的性質、三角形的面積、二次函數的性質及方程思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）中用m表示出PF的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．