Question

9．如圖所示，某市為加快“工業(yè)立市”的步伐，計劃在四邊形工業(yè)區(qū)ABCD中建立一個土特產(chǎn)中轉(zhuǎn)站O，使點O到A，B，C，D四點的連線之和最小，請你找出點O．

Answer 1

分析 連接AC、BD相交于點O，則點O就是所要找的點；取不同于點P的任意一點P，連接PA、PB、PC、PD，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得PA+PC＞AC，PB+PD＞BD，然后結(jié)合圖形即可得到PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，從而可得點O就是所要找的四邊形ABCD內(nèi)符合要求的點．

解答 解：如圖，要使OA+OB+OC+OD最小，則點O是線段AC、BD的交點．

理由如下：如果存在不同于點O的交點P，連接PA、PB、PC、PD，
那么PA+PC＞AC，
即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
則PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即點O是線段AC、BD的交點時，OA+OB+OC+OD之和最小．

點評 本題考查了三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，作出圖形更助于問題的解決，本題滲透了反證法的思想，希望同學們逐漸適應并熟練掌握．