Question

15．已知，△ABC滿足BC=AB，∠ABC=90°，A點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上方．
（1）如圖1所示，若A的坐標(biāo)是（-3，0），點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3）；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，請(qǐng)判斷線段OA、OD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，問(wèn)CF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A（-3，0）、BC=BA可得點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）OA=OD+CD；證明△ABO≌△BCD，得到BO=CD，OA=DB，即可解答；
（3）AE=2CF，如圖3，延長(zhǎng)CF，AB相交于G，證明△AFC≌△AFG，得到CF=GF，再證明△ABE≌△CBG，得到AE=CG，即可解答．

解答 解：（1）∵BC=AB，且A的坐標(biāo)是（-3，0），
∴BC=BA=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
故答案為：（0，3）；

（2）OA=OD+CD；
∵CD⊥y軸，
∴∠CDB=90°，∠DCB+∠CBD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠ABO=∠DCB，
在△ABO和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠DCB}\\{∠AOB=∠BDC=90°}\\{AB=CB}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△BCD，
∴BO=CD，OA=DB，
∵BD=OB+OD，
∴OA=CD+OD．

（3）AE=2CF，
如圖3，延長(zhǎng)CF，AB相交于G，

∵x軸恰好平分∠BAC，
∴∠CAF=∠GAF，
∵CF⊥x軸，
∴∠AFE=∠AFG=90°，
在△AFC和△AFG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠GAF}\\{AF=AF}\\{∠AFC=∠AFG}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AFG，
∴CF=GF，
∵∠AEB=∠CEF，∠ABE=∠CFE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠BCG}\\{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG，
∴AE=CF+GF=2CF

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是證明三角形全等，并利用全等三角形的性質(zhì)得到相等的線段．